Simulation du mouvement brownien et des diffusions
Year: 1992
Type: preprint
Abstract: L'objet de cette these est l'etude de la simulation numerique de certains processus stochastiques, les diffusions, dont le mouvement brownien est un exemple typique. Nous commencons par quelques rappels sur le mouvement brownien au chapitre 1. Il s'agit d'une presentation elementaire, qui s'appuie sur la simulation numerique, et permet de rappeler quelques proprietes classiques. Puis nous presentons au chapitre 2 une simulation alternative du mouvement brownien, en un sens plus naturelle, qui s'attache davantage a son comportement spatial que les methodes traditionnelles. Le mouvement brownien est simule a des instants aleatoires qui gouvernent son comportement; ce sont les temps de sortie de certaines noires. En choisissant la taille et la position de ces boites noires dans l'espace, et sous reserve qu'elles se chevauchent, on peut ainsi simuler tres precisement une trajectoire brownienne. La suite de la these est consacree a l'analyse numerique des equations differentielles stochastiques (E.D.S) et a la simulation informatique de leur solution. Nous commencons au chapitre 3 par une introduction qui rappelle ce que sont les E.D.S, cite quelques unes de leurs proprietes et applications classiques dans les sciences de l'ingenieur. Au chapitre 4 nous presentons un resultat de convergence trajectorielle du schema d'Euler en en precisant l'ordre de convergence. Un resultat similaire est presente pour le schema de Milshtein au chapitre 5. Comme on peut s'y attendre, ce schema est plus performant que le schema d'Euler, quand la condition classique de commutativite est verifiee. Ceci ameliore partiellement un resultat de Denis Talay. On etudie ensuite au chapitre 6 une classe de schemas de discretisation a pas variables permettant une approximation spatiale des diffusions dans l'esprit du chapitre 2. Nous commencons par un resultat assez general de convergence d'un schema d'Euler defini le long d'une subdivision aleatoire. Dans le cas ou cette subdivision est gouvernee par les temps de passage successifs du mouvement brownien, nous retrouvons et etendons partiellement des travaux de Nigel Newton. Dans le cas ou cette subdivision de facon a ce que les accroissements du schema de discretisation soient constants, nous etudions un schema de discretisation originalement presente par Bichteler. Nous precisons sa vitesse de convergence et donnons une methode de simulation numerique. Le chapitre 7 est un panorama des travaux existants sur la discretisation des equations differentielles stochastiques. Sans pretendre etre exhaustif, nous presentons au contraire une relecture des travaux existants dans l'optique de la simulation numerique. Enfin le chapitre 8 s'attache a quelques questions ou problemes non resolus qui representent un interet evident pour les applications. Nous suggerons pour chacune de ces questions quelques commencements de reponse.
Author: Olivier Faure
Language: French
Subfield: Finance
Domain: Social Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W1525253579