Year: 2009
Type: dissertation
Abstract: In dieser Dissertation studieren wir hauptsächlich Wangs Harnack-Ungleichungen und ihre Anwendungen auf Übergangshalbgruppen, die zu stochastischen Gleichungen gehören.\nWir betrachten endlich-dimensionale stochastische (gewöhnliche) Differentialgleichungen mit irregulärem Drift, unendlich-dimensionale (semi-)lineare stochastische partielle Differentialgleichungen mit Gauß'schem oder Lévy-Rauschen, mehrwertige stochastische Differentialgleichungen in endlich-dimensionalen Räumen und mehrwertige stochastische Evolutionsgleichungen in Banach-Räumen.\nDie Anwendungen der Harnack-Ungleichungen beinhalten das Studium von Regularisierungs-Eigenschaften wie der starken Feller-Eigenschaft, Wärmeleitungskern-Abschätzungen und Hyper-Beschränktheit usw. für die Übergangshalbgruppen.\nDie wichtigste benutzte Methode, um Harnack-Ungleichungen zu erhalten, ist die Transformation von Maßen, genauer Bildmaß-Transformationen und die Girsanov-Transformation (zusammen mit einem Kopplungsargument). Die letztere Methode wurde von Arnaudon et al. in 2006 eingeführt.\nMithilfe einfacher Bildmaß-Transformationen zeigen wir eine optimale Harnack-Ungleichung für die Gauß'sche Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe. Dies ist eine Verbesserung der von Röckner und Wang in 2003 erhaltenen Harnack-Ungleichung. Darüber hinaus zeigen wir, dass diese Ungleichung äquivalent zur starken Feller-Eigenschaft der Gauß'schen Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe ist.\nDurch Koppeln und die Girsanov-Transformation erhalten wir eine Harnack-Ungleichung für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Lévy-Rauschen. Der Drift in der Girsanov-Transformation ist eine Null-Kontrolle eines linearen Systems. Durch Optimierung über alle Null-Kontrollen erhalten wir eine Harnack-Ungleichung, die die gleiche Form hat wie die für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Gauß'schem Rauschen. Diese Harnack-Ungleichung verallgemeinert und verbessert die von Röckner und Wang in 2003 erhaltene.\nMit der gleichen Methode und der Wahl geeigneter Drifts erhalten wir auch Harnack-Ungleichungen für andere stochastische Gleichungen.\nWichtige Aspekte der Methode von Arnaudon et al. sind absolute Stetigkeit und das erfolgreiche Koppeln von Prozessen. Wir behandeln diese Themen in zwei Kapiteln der Arbeit.\nWir zeigen ein Girsanov-Theorem für Lévy-Prozesse in unendlich-dimensionalen Räumen. Des weiteren untersuchen wir die absolute Stetigkeit von Lévy-Prozessen. Dieser Teil ist eine unendlich-dimensionale Version der Vorlesungen von Sato über Dichte-Transformationen von Lévy-Prozessen in 2000.\nWir zeigen ein Klebe-Lemma, dass das Martingalproblem für die Summe zweier durch Stoppzeiten getrennter Operatoren löst. Es ist eine Verallgemeinerung eines Lemmas von Chen und Li, 1989. Wir wenden dieses Resultat an, um die Existenz einer schwachen Lösung der gekoppelten Gleichung zu erhalten.\nFür mehrwertige stochastische Evolutionsgleichungen untersuchen wir auch die Konzentrationseigenschaft der invarianten Maße. Diese Eigenschaft verallgemeinert die von Zhang in 2007 untersuchte.\nDes weiteren untersuchen wir Entropie-Kosten- und HWI-Ungleichungen für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Gauß'schem Rauschen.
Author: Shun-Xiang Ouyang
Institution: Bielefeld University
Language: English
Subfield: Applied Mathematics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W1933495495