Year: 2003
Type: article
Abstract: We consider the stationary Gierer–Meinhardt system in ℝ^2 : \begin{cases} \Delta A - A + \frac{A^{2}}{H} = 0 & \text{in }ℝ^{2}, \\ \Delta H - \sigma ^{2}H + A^{2} = 0 & \text{in }ℝ^{2}, \\ A,H > 0;\ A,H\rightarrow 0 & \text{as }\left|x\right|\rightarrow + \infty . \end{cases} We construct multi-bump ground-state solutions for this system for all sufficiently small σ . The centers of these bumps are located at the vertices of a regular polygon, while the bumps resemble, after a suitable scaling in their A -coordinate, the unique radially symmetric solution of \begin{cases} \Delta w - w + w^{2} = 0 & \text{in }ℝ^{2}, \\ 0 < w\left(y\right)\rightarrow 0 & \text{as }\left|y\right|\rightarrow \infty . \end{cases} A similar construction is made for vertices of two concentric polygons and a general procedure for detection of organized finite patterns is suggested. Résumé On considère le système stationnaire de Gierer–Meinhardt dans \begin{cases} \Delta A - A + \frac{A^{2}}{H} = 0 & \text{dans }ℝ^{2}, \\ \Delta H - \sigma ^{2}H + A^{2} = 0 & \text{dans }ℝ^{2}, \\ A,H > 0;\ A,H\rightarrow 0 & \text{quand }\left|x\right|\rightarrow + \infty . \end{cases} On construit des solutions fondamentales multi-pics pour ce système, pour tout σ suffisamment petit. Les centres de ces pics sont localisés aux sommets d’un polygone régulier, tandis que les pics ressemblent, après un changement d’échelle approprié dans la coordonnée A , à l’unique solution radiale de \begin{cases} \Delta w - w + w^{2} = 0 & \text{dans }ℝ^{2}, \\ 0 < w\left(y\right)\rightarrow 0 & \text{quand }\left|y\right|\rightarrow \infty . \end{cases} Une construction similaire est faite pour les sommets de deux polygones concentriques et une procédure générale de détection destructures finies organisées est suggérée.
Language: English
Subfield: Applied Mathematics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: bronze
OpenAlex ID: W2020914634