Year: 2005
Type: article
Abstract: The concept of curvature is very common in Differential Geometry.In this article we try to show its evolution along history, as well as some of its applications.This survey is limited both in number of topics dealt with and the extent with which they are treated.Some of them, like minimal submanifolds, Kähler manifolds or Morse Theory are completely omitted.Though in an implicit way, the curvature is already present in the Fifth Euclid's Postulate.However it does not emerge explicitly in Mathematics until the appearance of the theory of curves and surfaces in the euclidean space.Taking basically the work of Gauss's as a starting point, Riemann defines the curvature tensor in an abstract and rigorous way.The introduction of multilinear algebra in the second half of the XIX century allowed a better analytic formulation and its further development.It is worth stressing its fundamental role in the development of the Theory of Relativity.Besides, the curvature is present, not only in riemannian manifolds, but also in many other geometric structures, like homogeneous and symmetric spaces, the theory of connections, characteristic classes, etc.Having in mind that the physical world cannot be explained in a linear way, the curvature also arises in the theories of Mathematical Physics.Likewise, it seems interesting to note its presence in applied sciences, like Estereology. La curvatura de Riemann a trav és de la historiaResumen.El concepto de curvatura es muy familiar en la Geometría Diferencial.En este artículo se procura mostrar tanto la evolución de su concepto a lo largo de la historia como alguna de sus aplicaciones.En esta exposición existe una limitación tanto en la presentación de algunos tópicos como en la ausencia de otros que son básicos en la Geometría de Riemann.Entre estos últimos cabría destacar, entre otros, las variedades minimales y las kählerianas o la teoría de Morse.Aunque de manera implícita, la curvatura ya está presente en el quinto postulado de Euclides, no se detecta explícitamente su presencia en las Matemáticas hasta la aparición de la teoría de curvas y superficies en el espacio euclídeo.Tomando fundamentalmente como base la obra geométrica de Gauss, Riemann define de una manera abstracta, pero rigurosa, el tensor curvatura.El desarrollo del álgebra multilineal durante la segunda mitad del siglo XIX permitió su comprensión analítica y su desarrollo posterior.Cabe destacar su papel fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad.Además, la curvatura no sólo está presente en las variedades de Riemann sino también en muchas otras estructuras geométricas tales como espacios simétricos y homogéneos, teoría de conexiones, clases características, etc. Teniendo en cuenta que el mundo físico no se puede explicar de una forma lineal, la curvatura aparece también en todas las teorías Físico-Matemáticas.Igualmente, parece interesante hacer notar su presencia en ciencias aplicadas, entre las que cabe señalar la Estereología.
Source: Hispana
Author: A. M. Naveira
Language: Spanish
Subfield: Geometry and Topology
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W2124310824