Year: 2013
Type: dissertation
Abstract: In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische \nGleichungen (differential-algebraic equations, DAEs) der Form $\\ddt E x = \nAx + f$ betrachtet, wobei $E$ und $A$ beliebige Matrizen sind. Falls $E$ \nnichtverschwindende Einträge hat, dann kommen in der Gleichung Ableitungen \nder entsprechenden Komponenten von $x$ vor. Falls $E$ eine Nullzeile hat, \ndann kommen in der entsprechenden Gleichung keine Ableitungen vor und sie \nist rein algebraisch. Daher werden Gleichungen vom Typ $\\ddt E x = Ax + f$ \ndifferential-algebraische Gleichungen genannt. \n \nEin Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer DAE \nin vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten Anteil, \neinen unterbestimmten Anteil und einen überbestimmten Anteil. Jeder Anteil \nbeschreibt ein anderes Lösungsverhalten in Hinblick auf Existenz und \nEindeutigkeit von Lösungen für eine vorgegebene Inhomogenität $f$ und \nKonsistenzbedingungen an $f$. Die Zerlegung, namentlich die quasi-Kronecker \nForm (QKF), verallgemeinert die wohlbekannte Kronecker-Normalform und \nbehebt einige ihrer Nachteile. \n \nDie QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrollierbarkeit \nund Stabilisierbarkeit für DAEs mit~$f=Bu$ zu studieren. Hier bezeichnet \n$u$ den Eingang des differential-algebraischen Systems. Es werden \nZerlegungen unter System- und Feedback-Äquivalenz, sowie die Folgen einer \nBehavioral-Steuerung $K_x x + K_u u = 0$ für die Stabilisierung des Systems \nuntersucht. \n \nFalls für das DAE-System zusätzlich eine Ausgangs-Gleichung $y=Cx$ gegeben \nist, dann lässt sich das Konzept der Nulldynamik wie folgt definieren: die \nNulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am Ausgang nicht sichtbar \nist, d.h. die Menge aller Lösungs-Trajektorien $(x,u,y)$ mit $y=0$. Für \nrechts-invertierbare Systeme mit autonomer Nulldynamik wird eine Zerlegung \nhergeleitet, welche die Nulldynamik entkoppelt. Diese versetzt uns in die \nLage, eine Behavior-Steuerung zu entwickeln, die das System stabilisiert, \nvorausgesetzt die Nulldynamik selbst ist stabil. \n \nWir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigenschaften \nder oben genannten System-Klasse profitieren: Hochverstärkungs- und \nFunnel-Regelung. Ein System $\\ddt E x = Ax + Bu$, $y=Cx$, hat die \nHochverstärkungseigenschaft, wenn es durch die Anwendung der proportionalen \nAusgangsrückführung $u=-ky$, mit $k>0$ hinreichend groß, stabilisiert \nwerden kann. Wir beweisen, dass rechts-invertierbare Systeme mit \nasymptotisch stabiler Nulldynamik, die eine bestimmte Relativgrad-Annahme \nerfüllen, die Hochverstärkungseigenschaft haben. Während der \nHochverstärkungs-Regler recht einfach ist, ist es jedoch a priori nicht \nbekannt, wie groß die Verstärkungskonstante $k$ gewählt werden muss. Dieses \nProblem wird durch den Funnel-Regler gelöst: durch die adaptive Justierung \nder Verstärkung über eine zeitabhängige Funktion $k(\\cdot)$ und die \nAusnutzung der Hochverstärkungseigenschaft wird erreicht, dass große Werte \n$k(t)$ nur dann angenommen werden, wenn sie nötig sind. Eine weitere \nwesentliche Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente \nVerhalten des Fehlers $e=y-y_{\\rm ref}$ der Bahnverfolgung, wobei $y_{\\rm \nref}$ die Referenztrajektorie ist, beachtet. Für einen vordefinierten \nPerformanz-Trichter (funnel) $\\psi$ wird erreicht, dass $\\|e(t)\\|<\\psi(t)$. \n \nSchließlich wird der Funnel-Regler auf die Klasse von MNA-Modellen von \npassiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen invarianten \nNullstellen angewendet. Dies erfordert die Einschränkung der Menge der \nzulässigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser Weise, die \nKirchhoffschen Gesetze punktweise erfüllen.
Author: Thomas Berger
Language: English
Subfield: Numerical Analysis
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W2474991322