Random PDEs: questions of regularity
Year: 2017
Type: dissertation
Abstract: Le mémoire se décompose en trois parties. La première partie est un aperçu rapide de mon activité de recherche depuis la thèse. Les deux autres parties décrivent deux thématiques centrales de manière plus détaillée. Ces deux thématiques portent sur des équations aux dérivées partielles aléatoires, et mèlent donc des aspects analytiques et probabilistes. Les questions de régularité y jouent un rôle central.Le premier thème concerne les équations elliptiques à coefficients aléatoires. Si la loi des coefficients est invariante par translation et ergodique, il est bien connu que ces équations "s'homogénéisent" sur de grandes échelles. Avec Scott Armstrong et Tuomo Kuusi, nous avons développé une version quantitative de ce résultat. Nous nous sommes en particulier attachés à obtenir des estimées optimales sur le correcteur, un objet fondamental de la théorie. Le second thème aborde certaines EDP stochastiques non-linéaires, où l'irrégularité du bruit est trop forte pour permettre la résolution par des méthodes d'analyse classique. L'équation doit être "renormalisée" pour avoir un sens. Je me suis particulièrement intéressé au modèle appelé "phi^4". Avec Hendrik Weber, nous avons montré qu'un modèle d'Ising critique, à longue portée, se rapproche de ce modèle phi^4 sur les grandes échelles, en dimension 2. Nous avons également montré le caractère bien posé de l'équation, en dimensions 2 et 3.
Author: Jean-Christophe Mourrat
Institution: Unité de Mathématiques Pures et Appliquées
Language: French
Subfield: Mathematical Physics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W3042071418