Reformulations quadratiques convexes pour la programmation quadratique en variables 0-1
Year: 2006
Type: dissertation
Abstract: Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la résolution exacte de problèmes d'optimisation en variables 0-1 (notés (Q01)), comportant une fonction objectif quadratique soumise à des contraintes linéaires. Les problèmes de bipartition de graphe, d'affectation quadratique, du sac-à-dos quadratique en sont des exemples très connus et amplement étudiés dans la littérature de l'optimisation combinatoire. On les rencontre également, de façon plus concrète, dans les domaines scientifiques, économiques et industriels tels que le choix d'investissements, la gestion de portefeuilles, la conception de réseaux, le transport, etc. Malgré des travaux pionniers datant de plus de vingt ans, les problèmes non linéaires en variables bivalentes demeurent en général mal résolus. Parvenir à résoudre les programmes (Q01) de grande taille représente donc un enjeu très important. Le but de cette thèse est de proposer des méthodes originales et efficaces de résolution exacte des programmes (Q01). Plus précisément, notre approche prinicpale consiste en une reformulation quadratique convexe du problème initial dans le but d'utiliser les méthodes générales de résolution des programmes quadratiques convexes en variables entières. Cette approche peut être comparée, dans son esprit, à la reformulation de problèmes non linéaires en variables 0-1 par des problèmes linéaires en variables mixtes, technique étudiée depuis longtemps et connue sous le nom de linéarisation. Une partie de notre travail est consacrée à la présentation d'une nouvelle reformulation linéaire des programmes d'optimisation quadratique en 0-1. Dans les deux cas, les problèmes reformulés peuvent être résolus par des solveurs standards de programmes en variables mixtes. Nous présentons également de nombreuses expérimentations de notre reformulation quadratique convexe concernant trois problèmes non convexes classiques de l'optimisation combinatoire (le problème de bipartition, du sous-graphe le plus dense et un problème de minimisation d'échange d'outils). Les expérimentations montrent l'intérêt de l'approche : dans la plupart des cas, sur les instances étudiées, la méthode proposée est nettement plus efficace que les méthodes connues à ce jour. Des résultats expérimentaux sont également présentés, concernant trois problèmes convexes (le problème de plus court chemin probabiliste, un problème d'investissements, un problème d'ordonnancement). Notre approche peut également se révéler, dans certains cas, très intéressante.
Author: Marie-Christine Plateau
Language: French
Subfield: Numerical Analysis
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W419456872