Year: 2023
Type: preprint
Abstract: Un polynôme A de F₂[x] est parfait si σ(A) = A (σ = somme de tous les diviseurs unitaires-moniques) et impair si pgcd(A, x²+x) = 1. La conjecture de Canaday (Duke Math. J. 8, 1941) — le seul parfait impair est 1 — demeure ouverte. Ce dépôt établit deux bornes nouvelles sur un contre-exemple hypothétique. Théorème 1 (cas général, machine-assisté, double route de vérification indépendante) : tout parfait impair ≠ 1 possède un facteur irréductible de degré ≥ 20 — à notre connaissance, la première borne publiée sur le degré du plus grand facteur irréductible dans le cas général. Théorème 2 (cas spécial A = S², S sans carré) : tout facteur irréductible est de degré ≥ 32, d'où deg A ≥ 640 ; ceci reproduit indépendamment le test d'orbite de Gallardo–Rahavandrainy (JTNB 2007, degrés pairs 2–28, ~50 min de calcul exact contre 126 h de Maple en 2007) puis l'étend au degré 30 (536 870 912 candidats, extinction d'orbite en profondeur 4, zéro survivant). L'appui théorique (finitude effective de E_D, structure cyclotomique de σ(P^h), préfiltre de friabilité, solidité du crible) est démontré intégralement. La conjecture elle-même reste ouverte ; la note documente l'obstruction structurelle et un programme. Le paquet contient la note complète, six scripts Python (arithmétique exacte sur bitmasks, aucun flottant, sorties déterministes), la route de contre-vérification FLINT indépendante, les certificats d'élimination exhaustifs (D = 2..19 ; crible spécial D ≤ 24 ; orbite degrés 4–30) et un log de reproduction sur machine indépendante (7 juillet 2026). Transparence IA : travail dirigé par l'auteur ; formalisation, programmation et conduite de calcul avec l'assistance technique de Claude Fable 5 et Claude Opus 4.8 (Anthropic). Tous les résultats reposent sur une arithmétique exacte et sont reproductibles de façon déterministe, indépendamment du modèle.
Authors: Gallardo, Luis H., Rahavandrainy, Olivier
Language: English
Subfield: Algebra and Number Theory
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W4316829580