On the exponential ergodicity of the McKean-Vlasov SDE depending on a polynomial interaction
Year: 2026
Type: article
Abstract: In this paper, we study the long time behaviour of the Fokker-Planck and the kinetic Fokker-Planck equations with many body interaction , more precisely with interaction defined by U -statistics, whose macroscopic limits are often called McKean-Vlasov and Vlasov-Fokker-Planck equations respectively. In the continuity of the recent papers [1, 2, 3] and [4, 5, 6], we establish nonlinear functional inequalities for the limiting McKean-Vlasov SDEs related to our particle systems. In the first order case, our results rely on large deviations for U -statistics and a uniform logarithmic Sobolev inequality in the number of particles for the invariant measure of the particle system. In the kinetic case, we first prove a uniform (in the number of particles) exponential convergence to equilibrium for the solutions in the weighted Sobolev space H 1 ( μ ) with a rate of convergence which is explicitly computable and independent of the number of particles. In a second time, we quantitatively establish an exponential return to equilibrium in Wasserstein’s W 2 -metric for the Vlasov-Fokker-Planck equation. Some concrete examples are also provided. Resume Dans cet article, nous étudions le comportement en temps long des équations de Fokker-Planck et cinétiques de Fokker-Planck avec interaction à plusieurs corps , plus précisément avec une interaction définie par des U -statistiques, dont les limites macroscopiques sont souvent appelées respectivement équations de McKean -Vlasov et de Vlasov-Fokker-Planck. Dans la continuité des articles récents [1] , [2] , [3] et [4] , [5] , [6] , nous établissons des inégalités fonctionnelles non linéaires pour les EDS limites de McKean-Vlasov liées à nos systèmes de particules. Dans le cas du premier ordre, nos résultats reposent sur des grandes déviations pour les U -statistiques et une inégalité de Sobolev logarithmique uniforme en le nombre de particules pour la mesure invariante du système de particules. Dans le cas cinétique, on prouve d’abord une convergence exponentielle vers l’équilibre uniforme (en le nombre de particules) pour les solutions dans l’espace de Sobolev pondéré H 1 ( μ ) avec un taux de convergence qui est explicitement calculable et indépendant du nombre de particules. Dans un second temps, nous obtenons des vitesses exponentielles de retour à l’équilibre en W 2 Mohamed Alfaki ABOUBACRINE ASSADEK
Language: English
Subfield: Mathematical Physics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: hybrid
Estimated APC paid: $3,520
OpenAlex ID: W4379473970