Year: 2021
Type: dissertation
Abstract: Pouvoir distinguer les noeuds entre eux, divers invariants ont été développés. Parmi eux, le polynôme de Jones (1985) est l’un des plus connus et étudiés, mais à ce jour sa capacité à détecter le noeud trivial reste non décidée. Récemment des travaux de Eliahou et Fromentin (2017) ont présenté ce problème sous un nouvel angle. En considérant le polynôme de Jones modulo un entier m, la question de l’existence de noeuds non triviaux vus comme triviaux par cet invariant polynomial est plus abordable. Leur travail présente d’ailleurs une construction pour répondre aux cas m = 2r. Nous montrons dans ce mémoire qu’il est possible de construire des noeuds pour répondre aux cas mr à partir d’un noeud non trivial ayant un polynôme de Jones trivial modulo m. Cela permet de répondre d’une autre manière aux cas m = 2r mais aussi aux cas m = 3r. Nous donnons également une tentative de généralisation de la construction donnée par Eliahou et Fromentin, mais le manque d’exemple limite notre résultat à une vision uniquement théorique. Le crochet de Kauffman (1987) est un outil permettant de construire le polynôme de Jones à partir d’un diagramme de noeud. Ses liens avec les générateurs de l’algèbre de Temperley-Lieb, qui engendrent aussi le monoïde diagrammatique, et la théorie des tresses ont déjà été étudiés, notamment par Kauffman lui-même (1990). Nous continuons d’investiguer ses différents liens pour en apprendre plus sur le polynôme de Jones, mais aussi sur ces théories annexes. Nous apportons entre autres une nouvelle représentation matricielle des tresses, qui permet également de calculer le polynôme de Jones associé à ces tresses suivant différentes clôtures. Nous étudions aussi le monoïde diagrammatique grâce à un plongement dans les permutations, et développons à ce titre un nouveau produit sur les permutations dérivé de la composition classique.
Source: theses.fr (ABES)
Author: Guillaume Pagel
Language: French
Subfield: Geometry and Topology
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7150884763