Calcul symbolique et analyses de complexité pour la théorie des nombres et la cryptographie
Year: 2021
Type: dissertation
Abstract: Cette thèse étudie trois problèmes mathématiques liés à la cryptographie : la factorisation d'entiers, le calcul de logarithmes discrets dans des sous-groupes multiplicatifs de corps finis et le calcul d'espaces de Riemann-Roch sur des courbes projectives planes. L'algorithme du crible algébrique (Number Field Sieve en anglais, classiquement abrégé en NFS) est à l'heure actuelle le plus performant, tant en théorie qu'en pratique, pour résoudre les deux premiers problèmes susmentionnés. Dans un premier temps, nous étudions en détail la complexité asymptotique de cet algorithme. Nous proposons pour cette dernière des formules asymptotiques très précises qui malheureusement ne se traduisent pas en outil fiable de prédiction des temps de calcul de NFS. En effet, en pratique, la taille des entrées pour lesquelles il serait pertinent d'estimer le temps de calcul de NFS est très largement inférieure aux tailles nécessaires pour que l'utilisation des formules asymptotiques ait un sens. Cette étude remet en question la procédure classique sur laquelle repose les recommandations pour les tailles de clés utilisées dans la cryptographie basée sur RSA. Puisque utiliser la complexité asymptotique de NFS semble être une méthode critiquable pour évaluer les temps de calcul de cet algorithme en pratique, nous nous tournons vers une autre méthode de prédiction : la simulation. Ainsi, nous étudions dans un deuxième temps un algorithme simulant l'une des étapes de NFS : l'étape de filtrage. L'objectif d'un tel algorithme est de prédire en partie le comportement de NFS sur une entrée et un jeu de paramètres donnés, ce de manière plus efficace qu'en utilisant directement une implémentation de NFS sur les mêmes données. Après une description de cet outil de simulation, nous présentons les résultats d'études expérimentales destinées à évaluer sa fiabilité et sa précision. Enfin, nous présentons un algorithme probabiliste permettant le calcul d'espaces de Riemann-Roch sur des courbes projectives planes nodales. L'analyse théorique de complexité de cet algorithme ainsi que les résultats expérimentaux obtenus avec l'implémentation qui en a été faite entérine son efficacité.
Source: theses.fr (ABES)
Author: Le Gluher, Aude
Language: English
Subfield: Information Systems
Field: Computer Science
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W4392228281