Ein spektrales Kriterium zur Lösbarkeit ganzzahliger Faltungsgleichungen auf Z²/ A Spectral Criterion for Integer Convolution on 𝑍²
Year: 2024
Type: preprint
Abstract: Dieser Beitrag entwickelt ein neues spektrales Kriterium zur Lösbarkeit diskreter Faltungsgleichungen über dem Gitter $\mathbb{Z}^2$. Aufbauend auf der Fourier-Analyse und der Charaktertheorie abelscher Gruppen wird gezeigt, dass die Lösbarkeit der Gleichung $f * a = g$ durch das Nichtverschwinden der Fourier-Transformierten $\hat{f}$ auf dem Spektrum von $\hat{g}$ algorithmisch überprüfbar ist. Der vorgestellte Ansatz ermöglicht eine präzise semantische Charakterisierung und liefert numerische Rücktransformationen für konkrete Beispiele. Die Arbeit positioniert sich im Kontext aktueller Varianten der Periodic Tiling Conjecture (PTC) und knüpft an Fragestellungen von Greenfeld und Tao (2025) an.This paper develops a new spectral criterion for the solvability of discrete convolution equations over the lattice $\mathbb{Z}^2$. Building on Fourier analysis and the character theory of abelian groups, it is shown that the solvability of the equation $f * a = g$ can be algorithmically verified by the non-vanishing of the Fourier transform $\hat{f}$ on the spectrum of $\hat{g}$. The approach enables a precise semantic characterization and provides numerical inverse transformations for concrete examples. The work is positioned within the context of recent variants of the Periodic Tiling Conjecture (PTC) and relates to questions posed by Greenfeld and Tao (2025).
Source: arXiv (Cornell University)
Author: Jin, Jianjun
Language: German
Subfield: Applied Mathematics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
Award: G6494511059
OpenAlex ID: W4396944640