Year: 2025
Type: article
Abstract: Spherical codes, with a rich history spanning nearly five centuries, remain an area of active mathematical exploration and are far from being fully understood. These codes, which arise naturally in problems of geometry, combinatorics, and information theory, continue to challenge researchers with their intricate structure and unresolved questions. Inspired by Polya’s heuristic principle of “vary the problem,” we extend the classical framework by introducing the notion of noncommutative spherical codes, with particular emphasis on the noncommutative Newton–Gregory kissing number problem. This generalization moves beyond the traditional Euclidean setting into the realm of operator algebras and Hilbert C*-modules, thereby opening new avenues of investigation. A cornerstone in the study of spherical codes is the celebrated Delsarte–Goethals–Seidel–Kabatianskii–Levenshtein linear programming bound, developed over the past half-century. This bound employs Gegenbauer polynomials to establish sharp upper limits on the size of spherical codes, and it has served as a fundamental tool in coding theory and discrete geometry. Remarkably, a recent elegant one-line proof by Pfender [J. Combin. Theory Ser. A, 2007] provides a streamlined derivation of a variant of this bound. We demonstrate that Pfender’s argument can be extended naturally to the setting of Hilbert C*-modules, thereby enriching the theory with noncommutative analogues Сферические коды, имеющие богатую историю, охватывающую почти пять веков, остаются областью активных математических исследований и далеки от полного понимания. Эти коды, естественным образом возникающие в задачах геометрии, комбинаторики и теории информации, продолжают бросать вызов исследователям своей сложной структурой и нерешенными вопросами. Вдохновленные эвристическим принципом Пойа «вариации задачи», мы расширяем классическую модель, вводя понятие некоммутативных сферических кодов, уделяя особое внимание некоммутативной задаче Ньютона–Грегори о контактных числах. Это обобщение выходит за рамки традиционной евклидовой модели, охватывая область операторных алгебр и гильбертовых C*-модулей, открывая тем самым новые направления исследований. Краеугольным камнем в изучении сферических кодов является знаменитая граница линейного программирования Дельсарта–Гёталса–Зейделя–Кабатянского–Левенштейна, разработанная за последние полвека. Эта граница использует полиномы Гегенбауэра для установления точных верхних пределов размера сферических кодов и служит фундаментальным инструментом в теории кодирования и дискретной геометрии. Примечательно, что недавнее элегантное однострочное доказательство Пфендера [J. Combin. Theory Ser. A, 2007] представляет собой упрощенный вывод варианта этой границы. Мы показываем, что аргумент Пфендера может быть естественным образом распространен на случай гильбертовых C*-модулей, тем самым обогащая теорию некоммутативными аналогами.
Author: K. Mahesh Krishna
Institution: Chanakya University
Language: English
Subfield: Mathematical Physics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: diamond
OpenAlex ID: W4416764108