Year: 2024
Type: dissertation
Abstract: Les systèmes d’équations et inéquations polynomiales tropicales constituent le principal objet d’étude de cette thèse. Le but des travaux présentés ici est de décider efficacement la résolubilité de tels systèmes, en énonçant un résultat sous la forme d’un Nullstellensatz adapté au contexte tropical. Un second problème, plus élaboré, vient alors : celui de déterminer effectivement l’ensemble des solutions d’un système polynomial tropical.En 2018, Grigoriev et Podolskii ont établi un analogue tropical du Nullstellensatz effectif, montrant ainsi que la résolubilité d'un système d’équations tropicales polynomiales était équivalente à la résolubilité d'un système linéarisé, obtenu en tronquant la matrice de Macaulay à un certain degré. Leur résultat donnait de plus une borne supérieure du degré de troncature optimal, en fonction du nombre de variables, du nombre de polynômes dans le système, ainsi que de leurs degrés. Nous établissons une version améliorée du Nullstellensatz tropical, prenant en compte la possible structure creuse des polynômes tropicaux du système. Notre résultat repose sur une construction due à Canny et Emiris en 1993, raffinée un an plus tard par Sturmfels. En plus d'être adapté aux systèmes creux, notre résultat permet de combler l'écart entre le degré de troncature de Grigoriev et Podolskii, et la borne de Macaulay dans le cas classique. En outre, nous établissons grâce à la même construction un Positivstellensatz tropical, au prix d'une dilatation du degré de troncature de la matrice de Macaulay. Ce Positivstellensatz permet de résoudre les problèmes d'inclusion d'ensembles semi-algébriques tropicaux basiques, réduisant ainsi les problèmes de décision pour les ensembles semi-algébriques tropicaux à la résolution d’un système d'égalités et inégalités linéaires tropicales. Nous combinons ultimement ces deux résultats dans un Positivstellensatz hybride.Il est connu que la résolution des systèmes linéaires tropicaux mentionnés ci-dessus se réduit à celle des jeux avec paiement moyen, qui peuvent en pratique être résolus sur de grandes instances par des méthodes d'itération sur les valeurs ou bien d'itération sur les politiques. En particulier, nous proposons une accélération de l'algorithme classique d’itération sur les valeurs de Zwick et Paterson, que l'on emploie ensuite pour déterminer la résolubilité d'un système d'équations et inéquations polynomiales tropicales. Cette accélération repose sur deux ingrédients : le recours à l'amortissement de Krasnoselskii-Mann dans le processus d'itération, ainsi que l'introduction d’une étape d'élargissement, qui fournit une condition de sortie rapide en cas d'infaisabilité. Cette itération sur les valeurs avec élargissement a été implémentée en Python.Nous développons ensuite un analogue tropical des méthodes de valeurs propres afin de calculer de manière effective l'ensemble des solutions d'un système polynomial tropical. En nous reposant sur la correspondance entre systèmes linéaires tropicaux et jeux avec paiement moyen, nous montrons que cet ensemble de solutions peut être déterminé en résolvant des jeux paramétriques, provenant de linéarisations adéquates du système polynomial initial avec la matrice de Macaulay tropicale. Nous présentons deux approches : une première basée sur la recherche dichotomique, permettant de simplement certifier la résolubilité d'un système polynomial tropical, et une seconde, plus élaborée, basée sur le suivi de chemin homotopique, permettant de calculer des projections sur chaque coordonnée de l'ensemble des solutions.Enfin, nous présentons une généralisation du théorème de convergence d'Ishikawa sur l'itération de Krasnoselskii-Mann, en l'étendant au cas d'applications polyédrales sans point fixe. Cette généralisation fournit le contexte théorique nécessaire motivant le recours à l'amortissement de Krasnoselskii-Mann dans notre accélération de l'itération sur les valeurs.
Source: theses.fr (ABES)
Author: Béreau, Antoine
Language: English
Subfield: Computational Theory and Mathematics
Field: Computer Science
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7015615975
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