Geometriai és spektrális deszingularizáció
Year: 2026
Type: preprint
Abstract: A szingularitások feloldásának két, látszólag független paradigmája létezik: a geometriai út — az Arnold-féle σ-folyamat, azaz felfújás, amely a szinguláris pontot az irányok terével helyettesíti —, és a spektrális út — a Möbiusz-transzformáció, amely az előjelváltó (kétértékű) objektumokat a kétszeres fedőn egyértékű, véges spektrumú jelekké teszi. Ebben a cikkben megmutatjuk, hogy a kettő ugyanannak a szerkezetnek a két oldala: a sík projektív felfújásának totális tere azonos a Möbiusz-vonalnyaláb totális terével (a nyitott Möbiusz-szalaggal), a kivételes divizort körülvevő határkör a divizor kétszeres fedője, és a Möbiusz-transzformáció szektorbontása pontosan a felfújás monodrómiájának — a fedőcsoport hatásának — a diagonalizálása. Röviden: a σ-folyamat megépíti a színpadot, a Möbiusz-transzformáció ennek a színpadnak a natív kottája. A kapcsolatot két irányban terjesztjük ki: (i) a Z_n-monodrómiájú elágazásokra megadjuk a törtfrekvenciás (a/n-eltolásos) GDFT-családot, a fedőcsoport-Fourier zárt vetítési képleteivel, gépi pontosságú numerikus igazolással; (ii) megmutatjuk, hogy egy kör mentén végzett felfújás nem-irányítható normálnyaláb esetén Klein-kancsó kivételes halmazt ad, amelynek natív harmonikus analízise éppen a Klein-transzformáció — fizikai megjelenési területként a nematikus diszklinációs hurkokkal. Külön szakasz tárgyalja az inverz transzformáció szerepét: a szintézis mint monodrómia-kikényszerítés (topológiai indexvédelem), az inverz∘egyenes kompozíció mint kényszer-helyreállító vetítés, valamint a Puiseux-kapcsolat — a fél-egész radiális hatványok (r^n+1/2, a r-viselkedés) mint az inverz szintézis és az origóbeli regularitás következménye, numerikusan igazolva. Végül bevezetjük a L felfújás-transzformációt, amely a teljes függvényt a Möbiusz-szalag felületére emeli: izometria, egzakt szektor-jellemzés (síkfüggvények iránymező-típusú adatok), elemi fél-egész Hankel-radiális bázis; kiterjesztésekkel az RP^2 Klein-kancsó esetre, a tömör Klein-kancsóra és a hiper-Klein 3-terekre — utóbbi Casimir-energiájával (E(K^3)=-0,132\,557\,6) együtt. A cikk pontosan elhatárolja a klasszikus építőköveket (Hironaka, Arnold, Milnor–Stasheff) a jelen szintézistől. Új, nyolcadik fejezet köti be a tenzorinvariánsok rendszerét [13,14]: a felfújt tér fedélcseréje irányításfordító, de csak páros dimenzióban — ami megmagyarázza a kör menti konstrukció szükségességét —, és a jet/jad/dev szeletek közül csak a rot duális olvasata vált szektort. Levezetjük a divizor-tételt: a mestertétel lyukasztott tartományon megjelenő járuléka D_k=-_S^n-1 A T_k\, d, amely a p=-(n-1) küszöbön véges, és amelyhez a szelekciós szabály szerint csak az első (=1) gömbharmonikus járul hozzá — így a Gauss-tétel forrástagja és a Stokes-tétel Burgers-vektora ugyanannak az integrálnak két szelektor-választása. A jad divizor-tagja fél Burgers-vektor (b/2 a divizoron, b a közeli körön): ez a fél-erősségű diszklinációk integráltétel-alakja. A repedéscsúcs r-mezőjének jet-je tiszta dev, a nyom- és a csavarszelet azonosan nulla. Végül megmutatjuk, hogy a felfújás a mértékből egy fokot elvesz, a helyreállító |r| súly éppen az L transzformáció saját mértéke, az MKT ott is unitér marad (minden radiális súlyra), és a fél-egész Hankel-bázis abban ortogonális és teljes. Egy további fejezet a görbe menti felfújásra viszi át a divizor-tételt, ahol a divizor Klein-kancsó: itt a küszöb változatlan, de kettős szelekciós szabály lép fel (szögben csak az első harmonikus, hosszanti irányban csak az s szerinti átlag), és — a pont-esettel ellentétben — a divizor-tagnak csak a normálnyaláb triviális összeadandójába eső komponense jóldefiniált, mert a nyaláb triviális ⊕ Möbiusz alakban hasad. A jad hosszanti keringése ezért azonosan eltűnik: ez integráltétel-alakban adja vissza a defektus-topológiában ismert megállapítást, hogy a Burgers-vektor nem-irányítható irányban nem hordozható. A 9. fejezet záró pontja általános ambiens kritériumot ad: a divizor akkor és csak akkor nem irányítható, ha az ambiens sokaság nem irányítható a részsokaság mentén (w_1(divizor)=^*(w_1(M)|_P)). Ebből következik, hogy sem R^3-ban görbe, sem R^4-ben felület mentén nincs csavart divizor — a konstrukció nem-irányítható ambienst igényel —, a 8.1 pont dimenzió-paritás szabálya pedig ugyanennek a kérdésnek a kiegészítő olvasata: pont esetén az ambiens kritérium üres, ott a csavart a fedéshatás adja. Az új 9.8. pont a felület menti felfújás első tétele: a csavart S¹-nyalábon a divizor-tag hármas szelekcióval egyetlen tagra esik (15. Állítás), a 9.9. pont pedig szótárba rendezi a keret és a csavart együtthatós dualitás viszonyát. Az új 9.10. pont a fokot modell-szinten lezárja: a küszöb-skálázás átvitele (16. Állítás — a csavart csatornában a szelekció megelőzi a küszöböt), az e(N) != 0 eset (17. Állítás — az Euler-osztály Landau-résként lép fel, a divizor-tag delta_{e,0}-lal szorzódik, és Massey trichotómiája fizikai trichotómiává válik), valamint a teljes színtér-tábla (18. Állítás).
Author: Márk, László
Language: Hungarian
Subfield: Geometry and Topology
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7172456829