Classification of Four-Dimensional Matrices via Complex-Type Representations
Year: 2026
Type: article
Abstract: This study investigates the structural classification of real $4\times4$ matrices by analyzing all possible sign and conjugation patterns arising from their block decomposition. Starting from $1024$ potential configurations, algebraic consistencyconditions reduce the candidates to $128$, and further structural constraints yield $32$ admissible patterns. These $32$ patterns collapse into six canonical multiplication types, revealing that multiple distinct matrix realizations can share the same algebraic multiplication structure. A key component of the classification is the identification of three canonical complex-type $2\times2$ blocks: \[A=\begin{pmatrix}Z_1 & -Z_2 \\Z_2 & Z_1\end{pmatrix},\qquadB=\begin{pmatrix}Z_1 & -\overline{Z_2} \\\overline{Z_2} & Z_1\end{pmatrix},\qquadC=\begin{pmatrix}\overline{Z_1} & -Z_2 \\Z_2 & \overline{Z_1}\end{pmatrix}.\] These three forms serve as canonical representatives for all complex-type substructures under basis change and conjugation placement. Using these blocks, the full $4\times4$ patterns are systematically classified, revealing the existence of multiple quaternion-type realizations and several commutative structures that do not appear in classical algebraic treatments. The results provide a new matrix-pattern-based taxonomy of four-dimensional algebraic structures, extending beyond traditional complex and quaternion representations and offering a unified framework for understanding their underlying multiplicative behavior. 複素数と行列の間には深い構造的関係が存在することが古くから知られているが、その関係を4×4 行列レベルで体系的に調査した例はほとんど存在しない。本研究では、複素数およびその直交系(対複素数など)に対応する4×4 行列の符号配置・構造パターンを網羅的に列挙し、それらが生み出す代数構造(可換・非可換)の分類を試みる。 具体的には、複素数の線形作用を 4×4 行列として表現する際に現れる全ての符号パターンを生成し、乗算式の同型性・可換性・非可換性を比較することで、行列構造の「アトラス(図鑑)」を構成する。この過程で、既知の複素数構造に対応するものだけでなく、符号配置の違いによって自然に現れる複数の可換構造や、四元数型の非可換構造など、従来知られていなかった行列表現が得られた。 本研究の結果として、4×4 行列における複素数由来の構造的パターンが6 種類の乗算型と 32 種類の行列配置として整理され、複素数の階層拡張や新たな行列表現の標準形を議論するための基礎資料となることが期待される。
Author: Morimoto, Masaru
Language: English
Subfield: Applied Mathematics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7213774494
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