Year: 2026
Type: dissertation
Abstract: Diffraction d'ondes par des revêtements finis minces : développement asymptotique et modèles effectifs Nous considérons l'équation de Helmholtz dans un secteur angulaire de Dirichlet (potentiellement localement perturbé) recouvert sur un côté par une couche mince homogène. Tout d'abord, nous proposons un développement asymptotique à tout ordre et pour tout angle de la solution lorsque l'épaisseur de la couche tend vers 0, à l'aide de la méthode des développements asymptotiques raccordés. Celle-ci consiste à construire différents développements asymptotiques dans trois sous-domaines – le voisinage du coin, la couche et le reste du domaine – qui sont reliés par des conditions de raccord. La présence du coin rend l'obtention de ces conditions de raccord délicate, car les champs présentent des comportements singuliers complexes. Cette difficulté est surmontée l'aide d'un ensemble d'outils algébriques nouveaux, comprenant notamment des séries formelles et des opérateurs sur ces séries. Par ailleurs, nous justifions le développement asymptotique par des estimations d'erreur et nous précisons la forme du développement en fonction de l'angle.Nous validons numériquement ce développement jusqu'à l'ordre 5 pour divers angles. Cela nécessite de calculer le comportement à l'infini de correcteurs de coin. Pour ce faire, nous proposons une méthode de type Galerkin enrichie par des compléments à l'infini. Ces compléments sont des fonctions connues qui apparaissent dans le comportement en l'infini des correcteurs de coin avec des coefficients qui deviennent des inconnues du système.Enfin, nous proposons des modèles effectifs d'ordre 3, resp. 5 où, loin du coin, la couche est remplacée par une condition de bord effective de Robin, resp. Ventcel et, proche du coin, une frontière artificielle munie d'une condition de type Dirichlet-to-Neumann (DtN) approchée est introduite. L'opérateur de DtN repose sur une décomposition modale du développement asymptotique tronqué à l'ordre 3, resp. 5. Les modes prennent en compte le comportement singulier des termes du développement, les correcteurs de coin et des coefficients de raccord algébriques. Nous montrons que nos modèles effectifs sont bien posés lorsque la couche est assez fine et nous les justifions rigoureusement par des estimations d'erreur. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques.
Source: theses.fr (ABES)
Author: Cédric Baudet
Institution: Institut Polytechnique de Paris
Language: French
Subfield: Numerical Analysis
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7221518201