The Champion Pair of Consecutive Prime Gaps: Counts up to 10^12, a Hardy–Littlewood Forecast, and Tests in Windows up to 10^19 (Working Paper)
Year: 2026
Type: preprint
Abstract: ## English Description **How the question arose.** The study grew out of the author's pattern method. The primes are written in non-overlapping rows p~q~r of three consecutive primes, each row starting with the last prime of the previous one: 3~5~7, 7~11~13, 13~17~19, … Behind each row stand its two gaps (q−p, r−q), and every gap pair has its own vertical column, so that equal rows stand below each other. The method was inspired by the special case 3, 5, 7 with the gaps (2,2), which never occurs again. The question: which column fills fastest – which gap pair is the most frequent? **Method.** Exact count of all pairs of consecutive prime gaps up to 10^12 (37,607,912,018 primes), in the row scheme above and in the usual overlapping form. A Hardy–Littlewood model for consecutive prime triples with the complete inclusion–exclusion over the positions between the three primes, checked against the counts. Direct counts in eleven windows of length 2·10^11 between 10^13 and 10^19.**Example of a crop***Pattern method (scheme 22): rows p~q~r of consecutive primes, each starting with the last prime of the previous row.Behind the colon: the two gaps q-p, r-q. Columns: the 16 most frequent pairs up to 100,000; right-most column: all other pairs.2~3: 1 6,6 6,4 4,6 2,4 4,2 2,10 10,2 6,2 8,6 2,6 6,12 6,8 12,6 6,10 12,2 2,12 others...3~5~7: 2,2,7~11~13: 4,2,13~17~19: 4,2,19~23~29: 4,6,29~31~37: 2,6,37~41~43: 4,2,43~47~53: 4,6,53~59~61: 6,2,61~67~71: 6,4,71~73~79: 2,6,79~83~89: 4,6,89~97~101: 8,4,101~103~107: 2,4,107~109~113: 2,4,113~127~131: 14,4,131~137~139: 6,2,139~149~151: 10,2,151~157~163: 6,6,163~167~173: 4,6,173~179~181: 6,2,181~191~193: 10,2,193~197~199: 4,2,199~211~223: 12,12,223~227~229: 4,2,.................. and so on ... **Results.** - (6,6) is the most frequent pair at every checkpoint from 5·10^5 up to 10^12. - The model matches the counts within the statistical noise (deviation at most 2·10^-4 in (10^11, 10^12]). - (6,6) loses the local lead at about 10^17.62 (≈ 4.2·10^17) to the mirror pair (12,18)/(18,12); reason: the singular series is larger by 3/2 because 5 divides 12+18. Counted from the beginning, the change follows at about 10^18.1. Next: (12,30)/(30,12) from about 10^23.8 (factor 15/8, also 7 | 42). - The windows confirm the first change: (6,6) is most frequent up to 10^17.5, (12,18)/(18,12) from 10^17.75 on; the windows alone give 10^(17.64 ± 0.01). - Two elementary laws of the column picture (mod 6: (2,2) occurs once, (4,4) never; mod 5: limits for vertical repeats). **Literature.** Feng and Wu (Acta Arith. 156, 2012) proved only the direction, and only under the Hardy–Littlewood conjectures: for the most frequent pair, eventually every small prime divides both entries. No concrete numbers were found in the literature; this working paper gives them. **Contents.** Working paper in English and German (PDF and LaTeX), all data (CSV), the continued table of the pattern method, and the programs (C++, Python) to reproduce every number. **Status.** Working paper, version 1.0. The forecast beyond the tested windows rests on the unproven Hardy–Littlewood conjectures. ## Deutsche Beschreibung **Wie die Frage entstand.** Die Untersuchung ist aus der Mustermethode des Autors entstanden. Die Primzahlen werden in nicht überlappenden Zeilen p~q~r aus drei aufeinanderfolgenden Primzahlen geschrieben, jede Zeile beginnt mit der letzten Primzahl der vorigen: 3~5~7, 7~11~13, 13~17~19, … Hinter jeder Zeile stehen ihre zwei Lücken (q−p, r−q), und jedes Lückenpaar hat seine eigene senkrechte Spalte, so dass gleiche Zeilen untereinander stehen. Anstoss war der Spezialfall 3, 5, 7 mit den Lücken (2,2), der nie wieder vorkommt. Die Frage: Welche Spalte füllt sich am schnellsten – welches Lückenpaar ist das häufigste? **Methode.** Exakte Zählung aller Paare aufeinanderfolgender Primzahllücken bis 10^12 (37'607'912'018 Primzahlen), im obigen Zeilenschema und in der üblichen überlappenden Form. Ein Hardy–Littlewood-Modell für aufeinanderfolgende Primzahl-Tripel mit vollständiger Inklusion–Exklusion über die Stellen zwischen den drei Primzahlen, geprüft an den Zählungen. Direkte Zählungen in elf Fenstern der Länge 2·10^11 zwischen 10^13 und 10^19.**Auschnittsbeispiel***Mustermethode (Schema «22»): Zeilen p~q~r aufeinanderfolgender Primzahlen, jede beginnt mit der letzten Primzahl der vorigen Zeile.Hinter dem Doppelpunkt: die beiden Lücken q-p, r-q. Spalten: die 16 häufigsten Paare bis 100'000; ganz rechts: alle übrigen Paare.2~3: 1 6,6 6,4 4,6 2,4 4,2 2,10 10,2 6,2 8,6 2,6 6,12 6,8 12,6 6,10 12,2 2,12 übrige...3~5~7: 2,2,7~11~13: 4,2,13~17~19: 4,2,19~23~29: 4,6,29~31~37: 2,6,37~41~43: 4,2,43~47~53: 4,6,53~59~61: 6,2,61~67~71: 6,4,71~73~79: 2,6,79~83~89: 4,6,89~97~101: 8,4,101~103~107: 2,4,107~109~113: 2,4,113~127~131: 14,4,131~137~139: 6,2,139~149~151: 10,2,151~157~163: 6,6,163~167~173: 4,6,173~179~181: 6,2,181~191~193: 10,2,193~197~199: 4,2,199~211~223: 12,12,223~227~229: 4,2,.................. usw. usf. ... **Ergebnisse.** - (6,6) ist an jedem Messpunkt ab 5·10^5 bis 10^12 das häufigste Paar. - Das Modell trifft die Zählungen im Rahmen des statistischen Rauschens (Abweichung höchstens 2·10^-4 in (10^11, 10^12]). - (6,6) verliert die lokale Spitze bei etwa 10^17,62 (≈ 4,2·10^17) an das Spiegelpaar (12,18)/(18,12); Grund: Die Singularreihe ist um 3/2 grösser, weil 5 die Summe 12+18 teilt. Ab Beginn gezählt folgt der Wechsel bei etwa 10^18,1. Danach: (12,30)/(30,12) ab etwa 10^23,8 (Faktor 15/8, zusätzlich 7 | 42). - Die Fenster bestätigen den ersten Wechsel: (6,6) ist bis 10^17,5 am häufigsten, (12,18)/(18,12) ab 10^17,75; die Fenster allein ergeben 10^(17,64 ± 0,01). - Zwei elementare Gesetze des Spaltenbilds (mod 6: (2,2) kommt einmal vor, (4,4) nie; mod 5: Schranken für senkrechte Wiederholungen). **Literatur.** Feng und Wu (Acta Arith. 156, 2012) haben nur die Richtung bewiesen, und zwar unter der Annahme der Hardy–Littlewood-Vermutungen: Beim häufigsten Paar teilt am Ende jede kleine Primzahl beide Einträge. Konkrete Zahlen dazu wurden in der Literatur nicht gefunden; dieses Arbeitspapier liefert sie. **Inhalt.** Arbeitspapier auf Englisch und Deutsch (PDF und LaTeX), alle Daten (CSV), die fortgesetzte Tabelle der Mustermethode und die Programme (C++, Python), mit denen sich jede Zahl nachrechnen lässt. **Stand.** Arbeitspapier, Version 1.0. Die Prognose oberhalb der getesteten Fenster beruht auf den unbewiesenen Hardy–Littlewood-Vermutungen.
Author: Miño Arnoso, Samuel Victor
Language: English
Subfield: Algebra and Number Theory
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7225453870