Sur l'hypocycloide à trois rebroussements.
Year: 1865
Type: article
Abstract: Sur Phypocycloide a trois rebroussements.(Par M. L. Cremona , Bologne.) 1. Un sait que l'illustre Steiner a enonce (sans demonstration) des theoremes tres nombreux relatifs a une certaine courbe de la troisieme classe et du quatrieme ordre (tome 53 de ce Journal, p. 231).Je crois qu'il ne sera pas sans inter<H de voir ces proprietes si elegantes decouler tout naturellement de la theorie generale des eourbes planes du troisieme degre (ordre ou classe), qui a ete etablie principalement par les beaux travaux de MM.Hesse et Cayley *).Cette maniere d'envisager la question mettra en evidence le lien naturel qui enchame toutes ces proprietes, en apparence si differentes, et fera aussi connaltre quelques resultats nouveaux.La courbe, dont il s'agit dans le memoire cite de Steiner, passe par les points circulaires a l'infini et a une tangente double, qui est la droite a rinfini.Mais les memes theoremes continuent de subsister pour une courbe quelconque du meine ordre et de la meme classe: il n'y a presque rien a changer, meme aux demonstrations.II suffit seulement de substituer deux points fixes quelconques aux points circulaires a Tinfmi: ce qui revient a faire une transformation homographique.Les cercles seront alors surroges par des coniques passant par les points fixes; au lieu des fonctions trigonometriques d'un angle, on aura certaines fonctions du rapport anharmonique d'un faisceau, dont deux droites soient dirigees aux points fixes **); etc.Comme il n'y a pas, au fond, plus de generalite a considerer ces points fixes quelconques au lieu des points circulaires a rinfini, je retiendrai la meme courbe qui a ete Tobjet des recherches de Steiner: ce qui me permettra d'user un langage plus concis et plus expeditif.*) Voir les tomes 36 et 38 de ce Journal; tomes 9 et 10 du Journal de M. Liou-(l e s^rie); et vol.147, part2 e , des rhilosophical Tranaactions.On trouvera Fexposition g^om^trique de cette theorie dans mon Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Bologna 1862), laquelle je renverrai souvent le lecteur.**) Si P, Q sont les asymptotes d'un cercle dont le centre soit Fintersection de deux droites M, N, on sait que le rapport anharmonique du faiseeau MNPQ est cos2(*JV) -•βίη2(#ΛΓ).(Chasles, G^om^trie supdrieure, p. 125).
Author: L. Cremona
Language: German
Topic: Mathematics and Applications
Subfield: Geometry and Topology
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W2011193149