Présentation synthétique du développement algorithmique de Collatz ∆alC
Year: 2026
Type: conference-paper
Abstract: Résumé L’analyse des opérations successives de l’itération de Collatz a conduit à rechercher une organisation régulière de son développement. En séparant ces opérations puis en les regroupant en séquences répétitives, un cadre autonome, séquentiel et géométrique est apparu : le développement algorithmique de Collatz, noté ΔalC. Chaque séquence produit une valeur étoilée, un pointeur et un triangle élémentaire. Les points étoilés appartiennent à une droite maîtresse, tandis que les pointeurs se répartissent sur des droites guides sélectionnées par la valuation 2-adique. L’idée essentielle réside dans l’autogénération du graphe. Le chemin n’est pas tracé à l’avance : chaque point étoilé impose localement la droite guide, le pointeur et l’unique point suivant. Le ΔalC génère ainsi son propre cheminement, à la manière d’un automate déterministe autonome. Cette autogénération prolonge pas à pas la chaîne simple déjà construite. Le caractère hamiltonien du cheminement s’étend ainsi jusqu’au nouveau point généré : dans la partie du graphe effectivement construite, chaque point étoilé est rencontré une seule fois et aucun cycle non trivial ne peut apparaître. Si le développement atteint le point final, ce caractère hamiltonien s’étend à l’ensemble du cheminement. Le modèle possède également d’autres propriétés structurelles : unicité locale, déterminisme vers l’avant, ordre imposé des séquences, continuité et fusion irréversible des trajectoires. Ces propriétés découlent des règles du ΔalC et possèdent donc un caractère universel. L’associativité des triangles permet ensuite de regrouper les séquences contiguës en sur-séquences et de passer des constructions locales à une construction globale. Une construction indépendante, appelée Séquence Cardinale, fournit un étalon géométrique reliant directement le premier point étoilé au point final. Sa comparaison avec la sur-séquence complète conduit à un raisonnement par coïncidence structurelle. Enfin, l’équivalence avec la dynamique impaire de Collatz est établie : à partir d’un même entier impair, les deux systèmes produisent la même succession d’états. Ils décrivent donc la même dynamique sous deux représentations différentes : l’une condensée, l’autre séquentielle et géométrique. Be, aout 2026
Author: Etcheparre, Bernard
Institution: Akira (France)
Language: French
Subfield: Mathematical Physics
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences
Open Access status: green
OpenAlex ID: W7203569775